Cực đại của hàm số

Đề Bài và Lời Giải

Đề bài:

Cho \( f: [a, b] \to \mathbb{R} \) được định nghĩa như sau:

\[ f(x) = \begin{cases} g(x), & \text{nếu } x \in [a, b] \cap \mathbb{Q}, \\ h(x), & \text{nếu } x \in [a, b] \setminus \mathbb{Q}, \end{cases} \]

trong đó \( g \) và \( h \) là các hàm liên tục trên \([a, b]\).

Xác định các điều kiện để \( f \) đạt giá trị lớn nhất trên \([a, b]\). Cụ thể, chứng minh rằng \( f \) đạt giá trị lớn nhất nếu và chỉ nếu giá trị lớn nhất của \( g(x) \) đạt được tại một điểm hữu tỉ trong \([a, b]\), hoặc giá trị lớn nhất của \( h(x) \) đạt được tại một điểm vô tỉ trong \([a, b]\).

Ngoài ra, giải thích lý do vì sao \( f \) không đạt giá trị lớn nhất nếu điểm mà \( h(x) \) đạt giá trị lớn nhất là một số hữu tỉ, hoặc nếu điểm mà \( g(x) \) đạt giá trị lớn nhất là một số vô tỉ.

Lời giải:

Cho hàm số \( f: [a, b] \to \mathbb{R} \) được định nghĩa như sau:

\[ f(x) = \begin{cases} g(x), & \text{nếu } x \in [a, b] \cap \mathbb{Q}, \\ h(x), & \text{nếu } x \in [a, b] \setminus \mathbb{Q}, \end{cases} \]

trong đó \( g \) và \( h \) là các hàm liên tục trên \([a, b]\). Chúng ta cần xác định điều kiện để \( f \) đạt giá trị lớn nhất trên \([a, b]\), và chứng minh rằng \( f \) đạt giá trị lớn nhất nếu và chỉ nếu giá trị lớn nhất của \( g(x) \) đạt được tại một điểm hữu tỉ trong \([a, b]\), hoặc giá trị lớn nhất của \( h(x) \) đạt được tại một điểm vô tỉ trong \([a, b]\).

Bước 1: Giá trị lớn nhất của \( g \) và \( h \)

Vì \( g \) và \( h \) đều liên tục trên \([a, b]\), theo định lý giá trị lớn nhất (Extreme Value Theorem), chúng đạt giá trị lớn nhất trên \([a, b]\). Gọi:

\[ M_g = \max_{x \in [a, b]} g(x) \quad \text{và} \quad M_h = \max_{x \in [a, b]} h(x). \]

Giá trị lớn nhất của \( f \) là:

\[ M = \max\{M_g, M_h\}. \]

Bước 2: Điều kiện để \( f \) đạt giá trị lớn nhất

Nếu \( M_g > M_h \):

• Nếu \( g \) đạt \( M_g \) tại một điểm hữu tỉ \( c \in [a, b] \), thì \( f(c) = g(c) = M_g = M \), do đó \( f \) đạt giá trị lớn nhất tại \( c \).
• Nếu \( g \) chỉ đạt \( M_g \) tại các điểm vô tỉ, thì tại những điểm đó, \( f(x) = h(x) < M_g \), và tại các điểm hữu tỉ khác, \( g(x) < M_g \). Vì vậy, \( f(x) < M \) trên toàn bộ \([a, b]\), và \( f \) không đạt giá trị lớn nhất.

Nếu \( M_h > M_g \):

• Nếu \( h \) đạt \( M_h \) tại một điểm vô tỉ \( d \in [a, b] \), thì \( f(d) = h(d) = M_h = M \), do đó \( f \) đạt giá trị lớn nhất tại \( d \).
• Nếu \( h \) chỉ đạt \( M_h \) tại các điểm hữu tỉ, thì tại những điểm đó, \( f(x) = g(x) < M_h \), và tại các điểm vô tỉ khác, \( h(x) < M_h \). Vì vậy, \( f(x) < M \) trên toàn bộ \([a, b]\), và \( f \) không đạt giá trị lớn nhất.

Nếu \( M_g = M_h \):

• Nếu \( g \) đạt \( M_g \) tại một điểm hữu tỉ hoặc \( h \) đạt \( M_h \) tại một điểm vô tỉ, thì \( f \) đạt giá trị lớn nhất tại điểm đó.
• Nếu \( g \) chỉ đạt \( M_g \) tại các điểm vô tỉ và \( h \) chỉ đạt \( M_h \) tại các điểm hữu tỉ, thì \( f(x) < M \) trên toàn bộ \([a, b]\), và \( f \) không đạt giá trị lớn nhất.

Kết luận

Hàm số \( f \) đạt giá trị lớn nhất trên \([a, b]\) nếu và chỉ nếu một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn:

1. Giá trị lớn nhất của \( g(x) \) đạt được tại một điểm hữu tỉ trong \([a, b]\).
2. Giá trị lớn nhất của \( h(x) \) đạt được tại một điểm vô tỉ trong \([a, b]\).